实变函数 (2) 集合 (1) 学习 (3)

定义

若$A$是非空集合，则$A$与其幂集$\mathcal{F}(A)$不对等

书本上的证明

此证明来自《实变函数论》第三版 周明强著

证明：假定$A$与其幂集$\mathcal{F}(A)$对等，即存在一一映射$f:A\rightarrow\mathcal{F}(A)$

作集合$B={x\in A;x\notin f(x)}$

于是有$y\in A$,使得$f(y)=B\in\mathcal{F}(A)$

则此时有两种情况

1. 若$y\in B$,则由$B$之定义可知$y\notin f(y)=B$
2. 若$y\notin B$,则由$B$之定义可知$y\in f(y)=B$

这些矛盾说明，$A$与$\mathcal{F}(A)$之间不存在一一映射，即$A$与$\mathcal{F}(A)$不对等

用例子理解证明过程

设$A=\mathbb{N}={1,2,3,…}$ ,但不失一般性,设$\mathcal{P}$为A到其幂集间的一一映射关系。

则设 ${\displaystyle \mathbb {N} {\begin{Bmatrix}1&\longleftrightarrow &\{4,5\}\\2&\longleftrightarrow &\{1,2,3\}\\3&\longleftrightarrow &\{4,5,6\}\\4&\longleftrightarrow &\{1,3,5\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ).}$ 若$\mathcal{P}(x_1)$中含有$x_1$,则称$x_1$是自私的（如2），反之则为非自私的（如1、3、4），设集合$D$为全体非自私变量的集合

$\therefore D\in \mathbb{N}​$且$D\in \mathcal{P}(\mathbb N)​$因此必存在一个$x_0​$使得$\mathcal{P}(x_0)=D​$

则

1. $x_0\in D$则$\mathcal{P}(x_0)=D,x_0$为自私，矛盾
2. $x_0\notin D$则$\mathcal{P}(x_0)=D,x_0$为非自私，矛盾

$Q.E.D$

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最后编辑时间为:2018-06-29 19:08:32